“我知道你们更习惯把这个叫做分数，但是我更喜欢叫有理数，所以记下这个词然后以后你们就知道它代表什么了。”
“在这里我们对有理数进行一个定义，我们把有理数定义为p/q，其中pq是互质的整数，q为正整数，p为整数。”
“有理数的范围足够我们做大多数运算了，但是它并不囊括了所有数。”
“比如经典的根号2，我们来证明一下，根号2不为有理数，也就是说，根号二没法表示成分数。”
“我们采用一个反证法。”
“假设根号2可以表示为形式为p/q的有理数，其中pq是互质整数，那么我们可以得到一个等式p?=2q?。”
“我再次强调一遍，我们假设了p，q都是整数，那么这种情况下，p必不能为奇数，因为奇数的平方里不可能有2这个因数，对吗？”
“所以我们推出，p为偶数，偶数可以表示为2k，其中k为整数。”
“于是我们又得到了一个等式，2k?=q?，同理可得，q为偶数。”
“也就是说，从根号2是有理数这个前提，我们可以推出这样一个结果，p和q拥有一个共同的因数2，而这违背了最初的假设pq互质，由此可得这个前提条件是错误的。”
“根据类似的思路我们还可以证明根号3，根号12是无理数。”
“然后在这里，我要第一次引入无穷的概念，我现在画一条线段，这条线段的起点是0，终点是1，也就是它是一段长度为1的有限长的线段。”
“那么请思考这样一个问题，如果我要从0走到1，那么我得先走到0和1的中点1/2，如果我要从0走到1/2，那么我就需要先走到0和1/2的中点1/4，而这个过程是可以无限继续下去的，你们看到问题所在了吗？”
“第二个例子，依旧是这条线段，我把它竖起来，然后我再在它的旁边画一条倾斜一点的线段，有点像直角三角形的高和斜边长，对吧。”
“这两条线段的长度明显是不想等的，但是我们可以将上面的点一一对应起来，横着连线，对，假设，线段是由一个一个可数的点构成的，那么我们就会得到一个荒谬的结论，也就是这两条线段是相等的。”
“但是我们知道它们俩是不相等的，所以，我想你们应该已经得出了结论，哪怕是一条有限长的线段上，上面也布满了无穷个数，对吗？”
“很好，这就是你们暂时需要知道的关于实数的事。”
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